Encontre a derivada da função. y = cot^2(sen(theta))

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada da função . A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente derivadas de funções compostas e trigonometria. Vamos precisar usar a regra da cadeia e saber como derivar funções trigonométricas como a cotangente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
Aqui, temos uma função composta: a cotangente aplicada ao seno de , e tudo isso elevado ao quadrado. Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a será:
Aqui, a gente primeiro tira a derivada da parte externa, que é elevada ao quadrado, multiplicando por 2 vezes essa função.

Passo 4

Agora, vamos derivar . Sabemos que a derivada da cotangente de é:
Mas como , precisamos multiplicar pela derivada interna, que é :

Passo 5

Substituindo essa derivada de volta na expressão que tínhamos no Passo 3:
Isso simplifica para:

Resposta

A derivada da função é:

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