Encontre a derivada da função.
Passo 1
Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada da função . A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente derivadas de funções compostas e trigonometria. Vamos precisar usar a regra da cadeia e saber como derivar funções trigonométricas como a cotangente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
Aqui, temos uma função composta: a cotangente aplicada ao seno de
, e tudo isso elevado ao quadrado. Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
será:
Aqui, a gente primeiro tira a derivada da parte externa, que é elevada ao quadrado, multiplicando por 2 vezes essa função.
Passo 4
Agora, vamos derivar . Sabemos que a derivada da cotangente de
é:
Mas como , precisamos multiplicar pela derivada interna, que é
:
Passo 5
Substituindo essa derivada de volta na expressão que tínhamos no Passo 3:
Isso simplifica para:
Resposta
A derivada da função é: