Suponha g(0) = 2 e g'(0) = 5 e faça
f(x) = e^x g(x), h(x) = 2^x / g(x)
f'(0) e h'(0)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Cálculo que pede pra encontrar as derivadas de duas funções no ponto . As funções são:
Sabemos que e . A gente vai precisar usar regras de derivação como a regra do produto e a regra do quociente para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar encontrando . A função é o produto de e . Para derivar um produto, a gente usa a Regra do Produto, que diz:
Aqui, e .

Passo 3

Primeiro, vamos derivar :
Agora, já sabemos que e .

Passo 4

Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Sabemos que , e , então:

Passo 6

Agora vamos para . Para derivar uma divisão, a gente usa a Regra do Quociente, que diz:
Aqui, e .

Passo 7

Primeiro, vamos derivar . Sabemos que:
Então:

Passo 8

Derivando :

Passo 9

Aplicando a Regra do Quociente:
Podemos fatorar :

Passo 10

Agora, vamos calcular :
Sabemos que , e , então:

Resposta

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