Encontre a derivada da função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função:
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a regra da cadeia e a regra do quociente. A regra da cadeia ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de funções. Já a regra do quociente é usada quando temos uma divisão de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas da nossa função para aplicar a regra da cadeia. Nossa função é composta assim:
  1. Função externa: , onde
  2. Função intermediária: , onde
  3. Função interna:
Vamos começar derivando a função externa em relação a .

Passo 3

Derivando a função externa em relação a :
Isso vem da regra básica de derivação das funções trigonométricas, onde a derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos derivar a função intermediária em relação a :
Isso é pela regra da derivada do logaritmo natural, onde a derivada de é .

Passo 5

Precisamos agora derivar em relação a . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz:
Onde e .

Passo 6

Vamos primeiro encontrar e .
Derivando :
Simplificando:
Derivando :

Passo 7

Agora aplicamos a regra do quociente:
Isso pode ser simplificado, mas vamos deixar assim por enquanto para manter a clareza.

Passo 8

Agora, juntamos tudo usando a regra da cadeia. Recordando que:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Substituindo e :

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto se possível. Se não for possível encontrar tal reta, justifique.
Seja . Verifique que
Em cada caso, encontre a derivada da função , usando a definição.
©
Seja a função definida em por: , para , e , para .
(a) Calcule