Encontre a derivada da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função:
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a regra da cadeia e a regra do quociente. A regra da cadeia ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de funções. Já a regra do quociente é usada quando temos uma divisão de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as camadas da nossa função para aplicar a regra da cadeia. Nossa função é composta assim:
- Função externa:
, onde - Função intermediária:
, onde - Função interna:
Vamos começar derivando a função externa em relação a
.
Passo 3
Derivando a função externa
em relação a
:
Isso vem da regra básica de derivação das funções trigonométricas, onde a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, vamos derivar a função intermediária
em relação a
:
Isso é pela regra da derivada do logaritmo natural, onde a derivada de
é
.
Passo 5
Precisamos agora derivar
em relação a
. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz:
Onde
e
.
Passo 6
Vamos primeiro encontrar
e
.
Derivando
:
Simplificando:
Derivando
:
Passo 7
Agora aplicamos a regra do quociente:
Isso pode ser simplificado, mas vamos deixar assim por enquanto para manter a clareza.
Passo 8
Agora, juntamos tudo usando a regra da cadeia. Recordando que:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Substituindo
e
:
Resposta
Portanto, a derivada da função é:
Exercícios relacionados
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
se possível. Se não for possível encontrar tal reta, justifique.
Seja
. Verifique que
Em cada caso, encontre a derivada da função
, usando a definição.
©
©
Seja
a função definida em
por:
, para
, e
, para
.
(a) Calcule
(a) Calcule