Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
se possível. Se não for possível encontrar tal reta, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Vamos usar conceitos de derivadas para achar essa reta.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
está realmente na função. Substituindo
na função:
Então, o ponto está correto.
Passo 3
Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da função
em relação a
no ponto
. Vamos chamar a função de
.
Para derivar
, usamos logaritmo natural para simplificar:
Passo 4
Derivando ambos os lados em relação a
:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 5
Calculando
:
E
:
Passo 6
Substituindo de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, vamos avaliar
em
:
Sabemos que
nesse ponto.
Calculando cada termo:
-
faz , então o primeiro termo dentro dos colchetes vira 0. -
, então o segundo termo também vira 0.
Portanto,
no ponto
.
Resposta
A equação da reta tangente no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Seja
. Verifique que
Usando as propriedades vistas em aula, justifique a igualdade abaixo:
Encontre a derivada da função
Em cada caso, encontre a derivada da função
, usando a definição.
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