Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto se possível. Se não for possível encontrar tal reta, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Vamos usar conceitos de derivadas para achar essa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto está realmente na função. Substituindo na função:
Então, o ponto está correto.

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da função em relação a no ponto . Vamos chamar a função de .
Para derivar , usamos logaritmo natural para simplificar:

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação a :
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 5

Calculando :
E :

Passo 6

Substituindo de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, vamos avaliar em :
Sabemos que nesse ponto.
Calculando cada termo:
  • faz , então o primeiro termo dentro dos colchetes vira 0.
  • , então o segundo termo também vira 0.
Portanto, no ponto .

Resposta

A equação da reta tangente no ponto é .

Exercícios relacionados

Seja . Verifique que
Usando as propriedades vistas em aula, justifique a igualdade abaixo:
Encontre a derivada da função
Em cada caso, encontre a derivada da função , usando a definição.
©