Encontre a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a derivada da função
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente usando a derivada de funções compostas. Vamos precisar usar a regra da cadeia e entender como derivar potências e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisamos derivar. Temos uma função composta: uma potência
onde dentro tem uma função seno
, e dentro do seno tem uma raiz quadrada que envolve
.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que para derivar uma função composta, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna. Aqui, a função externa é
e a função interna é
.
Passo 4
Primeiro, derivamos a função externa
em relação a
. Usamos a regra da potência:
Então, a derivada parcial fica:
Passo 5
Agora, precisamos derivar a função interna
em relação a
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
.
Passo 6
Derivando
:
Então, a derivada de
é:
Passo 7
Agora, juntamos tudo usando a regra da cadeia:
Resposta
A derivada da função é:
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