Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado do exercício é a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer métodos para resolver equações homogêneas e não homogêneas, além de entender como encontrar soluções particulares usando o método dos coeficientes a determinar ou variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos: Então: Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 4

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes: Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é: onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Observamos que o lado direito é , que se assemelha à função conhecida cuja integral está relacionada a funções arctan. Portanto, vamos tentar uma solução particular da forma: onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Calculando as derivadas de : Substituindo , e na equação original:

Passo 7

Simplificando: Para que essa igualdade seja válida para todos os , os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Observando os termos mais simples, identificamos que apenas o termo contribui diretamente para o lado direito. Portanto, igualando:

Passo 8

Então, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde e são constantes arbitrárias.

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