Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado do exercício é a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer métodos para resolver equações homogêneas e não homogêneas, além de entender como encontrar soluções particulares usando o método dos coeficientes a determinar ou variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Então:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 4
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Observamos que o lado direito é
, que se assemelha à função conhecida cuja integral está relacionada a funções arctan. Portanto, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Passo 7
Simplificando:
Para que essa igualdade seja válida para todos os
, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Observando os termos mais simples, identificamos que apenas o termo
contribui diretamente para o lado direito. Portanto, igualando:
Passo 8
Então, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
e
são constantes arbitrárias.