Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado do exercício é a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer métodos para resolver equações homogêneas e não homogêneas, além de entender como encontrar soluções particulares usando o método dos coeficientes a determinar ou variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo na equação homogênea, temos:
Então:
Dividindo por (que nunca é zero):
Passo 4
Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Observamos que o lado direito é , que se assemelha à função conhecida cuja integral está relacionada a funções arctan. Portanto, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Calculando as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Passo 7
Simplificando:
Para que essa igualdade seja válida para todos os , os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Observando os termos mais simples, identificamos que apenas o termo contribui diretamente para o lado direito. Portanto, igualando:
Passo 8
Então, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é , onde e são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função
Encontre a derivada da função.
Verifique que a função satisfaz a equação em seu domínio.
Seja , onde é uma função diferenciável. Expresse em termos da derivadas parciais de . Calcule supondo .