Encontre a primeira e a segunda derivadas da função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar a primeira e a segunda derivadas da função . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação de funções compostas e derivadas de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer a derivada da função cosseno-secante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . A função dada é , que é uma função composta. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia:
Agora, precisamos saber a derivada de , que é:
Aplicando isso no nosso caso, onde :
Então, substituindo de volta na expressão de :

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada . Precisamos derivar .
Vamos usar a regra do produto para derivar essa expressão. Primeiro, identificamos duas funções que serão derivadas:
A derivada de já calculamos como parte da primeira derivada, que foi .
Mas para a segunda derivada, precisamos recomeçar:
Primeiro, derivamos :
Em seguida, derivamos :
Agora, aplicando a regra do produto:
Substituindo as derivadas:
Simplificando:

Resposta

As derivadas da função são:

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Verifique que a função satisfaz a equação em seu domínio.