Encontre a primeira e a segunda derivadas da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar a primeira e a segunda derivadas da função
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação de funções compostas e derivadas de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer a derivada da função cosseno-secante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. A função dada é
, que é uma função composta. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia:
Agora, precisamos saber a derivada de
, que é:
Aplicando isso no nosso caso, onde
:
Então, substituindo de volta na expressão de
:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada
. Precisamos derivar
.
Vamos usar a regra do produto para derivar essa expressão. Primeiro, identificamos duas funções que serão derivadas:
A derivada de
já calculamos como parte da primeira derivada, que foi
.
Mas para a segunda derivada, precisamos recomeçar:
Primeiro, derivamos
:
Em seguida, derivamos
:
Agora, aplicando a regra do produto:
Substituindo as derivadas:
Simplificando:
Resposta
As derivadas da função
são:
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Verifique que a função
satisfaz a equação
em seu domínio.