Encontre a derivada da função: y = sen^3(4x).

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar a derivada da função . Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas, especialmente usando a Regra da Cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que são compostas. Temos uma função externa onde . Além disso, dentro de , temos outra função . Então, a função completa é uma composição de funções: .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A regra diz que a derivada de uma função composta é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Derivada da função externa: então .
  2. Derivada da função interna: então (usando a derivada do seno que é o cosseno e aplicando a Regra da Cadeia para a função interna ).

Passo 5

Agora, juntamos as derivadas usando a Regra da Cadeia:
Simplificando:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Encontre a derivada de y = sen(cos(tan(x))).
Encontre a derivada de y = e^(x cos(3 x)).
Ache a derivada implícita $\left(\frac{d y}{d x}\right)$ das seguintes funções: $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{25}$ $y^{3}=\frac{x-y}{x+y}$ $a \cos ^{2}(x+y)=b$ $\tan (y)=x y$
Encontre os intervalos nos quais f(x) = sen(x) ln(x) é crescente ou decrescente. Encontre os valores máximo e mínimo locais, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.