Encontre a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções exponenciais compostas, especialmente aquelas com expoentes que também são funções de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a nossa função tem uma base constante
elevada a uma potência que também depende de
. Isso significa que precisamos usar a regra da cadeia para derivar funções compostas. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções que estão dentro de outras funções.
Passo 3
Vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que
pode ser escrita usando logaritmos naturais para facilitar a diferenciação. Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 4
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, simplificamos:
Passo 5
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
:
Passo 6
Simplificamos a derivada do lado direito. A constante
pode ser mantida fora da derivada:
Passo 7
Para derivar
, usamos a regra da cadeia novamente. Sabemos que
, onde
:
Passo 8
Substituímos essa derivada de volta na equação:
Passo 9
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é:
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Encontre
e
.
Escreva a função composta na forma
. [Identifique a funcâo de dentro
e a de fora
. Então, encontre a derivada
.