Encontre a derivada da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções exponenciais compostas, especialmente aquelas com expoentes que também são funções de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a nossa função tem uma base constante elevada a uma potência que também depende de . Isso significa que precisamos usar a regra da cadeia para derivar funções compostas. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções que estão dentro de outras funções.

Passo 3

Vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que pode ser escrita usando logaritmos naturais para facilitar a diferenciação. Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que diz , simplificamos:

Passo 5

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que :

Passo 6

Simplificamos a derivada do lado direito. A constante pode ser mantida fora da derivada:

Passo 7

Para derivar , usamos a regra da cadeia novamente. Sabemos que , onde :

Passo 8

Substituímos essa derivada de volta na equação:

Passo 9

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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Encontre e .
Escreva a função composta na forma . [Identifique a funcâo de dentro e a de fora . Então, encontre a derivada .