Escreva a função composta na forma . [Identifique a funcâo de dentro e a de fora . Então, encontre a derivada .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a função composta na forma , identificando a função de dentro e a de fora . Depois, vamos encontrar a derivada . O enunciado que temos é , onde representa a derivada de alguma função . Vamos usar conhecimentos de funções compostas e cálculo diferencial para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na composição . Olhando para a expressão , podemos ver que há uma função de dentro e uma de fora:
  • Função de dentro ( ): Vamos chamar de .
  • Função de fora ( ): Então, .
Assim, a função composta fica .

Passo 3

Agora que identificamos e , vamos encontrar a derivada usando a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que:
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculemos . Sabemos que , então a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Lembrando que , a derivada de em relação a é:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a .

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia:
Substituindo :

Resposta

A derivada é:

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