Encontre a derivada da função. y = e^(3 x) / (1 + e^(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada juntos! O enunciado pede para encontrar a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra do quociente para derivadas. Vamos precisar lembrar como aplicar essa regra para encontrar a derivada corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. Na nossa função:
  • Numerador (u):
  • Denominador (v):

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas partes separadamente:
  • Derivada de em relação a ( ):
    Sabemos que a derivada de é . Então,
  • Derivada de em relação a ( ):
    A derivada de é e a derivada de é , então,

Passo 4

Agora que temos , , e , vamos aplicar a regra do quociente. A regra do quociente diz que:
Aplicando isso à nossa função:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão no numerador:
Primeiro, distribuímos em :
Então, subtraímos :

Passo 6

Agora, colocamos tudo de volta na expressão da derivada:
Podemos fatorar no numerador para simplificar ainda mais:

Resposta

A derivada da função é:

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