Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto determinado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Então, vamos precisar derivar a função em relação a .
Passo 3
Vamos derivar cada termo da função separadamente:
A derivada de em relação a é 1.
A derivada de em relação a é .
Então, a derivada da função é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 5
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para a forma geral: