Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto determinado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Então, vamos precisar derivar a função em relação a .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função separadamente:
  • A derivada de em relação a é 1.
  • A derivada de em relação a é .
Então, a derivada da função é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para a forma geral:
Adicionando 2 aos dois lados:
Convertendo 2 para fração:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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