Encontre a primeira e a segunda derivadas da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a primeira e a segunda derivadas da função
. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, mais especificamente a regra da cadeia e a derivação de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada,
. Nossa função é uma potência de uma função trigonométrica, então vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 3
A regra da cadeia para derivar
é
. Aplicando isso na nossa função:
Passo 4
Agora, precisamos derivar
. Sabemos que a derivada de
é
. Aqui,
, então
.
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda derivada,
. Precisamos derivar
. Aqui, vamos usar novamente a regra da cadeia e a regra do produto.
Passo 7
Primeiro, vamos derivar
. Usando a regra da cadeia:
Passo 8
Em seguida, vamos derivar
. Sabemos que a derivada de
é
. Assim:
Passo 9
Agora, aplicando a regra do produto para derivar
:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Passo 11
Podemos fatorar termos comuns para simplificar ainda mais:
Resposta
As derivadas da função
são:
Primeira derivada:
Segunda derivada: