Encontre a primeira e a segunda derivadas da função H(t) = tg(2t - 1)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a primeira e a segunda derivadas da função . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, mais especificamente a regra da cadeia e a derivação de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada, . Nossa função é uma potência de uma função trigonométrica, então vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

A regra da cadeia para derivar é . Aplicando isso na nossa função:

Passo 4

Agora, precisamos derivar . Sabemos que a derivada de é . Aqui, , então .

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos para a segunda derivada, . Precisamos derivar . Aqui, vamos usar novamente a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 7

Primeiro, vamos derivar . Usando a regra da cadeia:

Passo 8

Em seguida, vamos derivar . Sabemos que a derivada de é . Assim:

Passo 9

Agora, aplicando a regra do produto para derivar :
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 10

Simplificando a expressão:

Passo 11

Podemos fatorar termos comuns para simplificar ainda mais:

Resposta

As derivadas da função são:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

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