Encontre a derivada das funçãos:
f(x) = ln(x) + e^(x) + x^(-50) m | f(x) = x^2 + e^3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas de duas funções diferentes. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação para funções logarítmicas, exponenciais e polinomiais. Para isso, vamos precisar usar as regras básicas de derivação, como a derivada do logaritmo natural, a derivada da exponencial e a regra da potência.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
Para encontrar a derivada dessa função, vamos derivar cada termo individualmente.

Passo 3

Primeiro, derivamos ln x. A regra para isso é:
Então, a derivada de ln x é 1/x.

Passo 4

Em seguida, derivamos e^x. A propriedade da função exponencial é que sua derivada é igual à própria função:
Portanto, a derivada de e^x é e^x.

Passo 5

Agora, vamos derivar . Usamos a regra da potência, que diz que:
Aplicando isso:
Então, a derivada de é .

Passo 6

Agora, somamos todas as derivadas que encontramos:

Passo 7

Vamos passar para a segunda função:
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 8

Primeiro, derivamos x^2 usando a regra da potência:
Então, a derivada de x^2 é .

Passo 9

Agora, derivamos . Aqui, e^3 é uma constante, então aplicamos a regra de que a derivada de uma constante multiplicada por x é apenas a constante:

Resposta

As derivadas das funções são:
  1. Para :
  1. Para :

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