Encontre a derivada das funções abaixo
a) h(x)=integral1^e^x ln y d y

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a sua derivada, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da Regra de Leibniz para derivar integrais com limites variáveis. Essa regra nos diz como derivar uma integral cuja parte superior ou inferior depende da variável ddx integrala(x)^b(x) f(y) , dy = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) .
A regra é a seguinte:
Ou seja, a derivada da integral é igual à função dentro da integral avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior, menos a função avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função :
  • Função dentro da integral:
  • Limite inferior:
  • Limite superior:
Como o limite inferior é constante, sua derivada . Isso simplifica nossa aplicação da regra de Leibniz, já que a segunda parte da expressão desaparece.

Passo 4

Agora, aplicamos a regra:
h'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) = ln (e^x) cdot ddx(e^x)
Sabemos que h'(x) = x cdot e^x (porque ) e que a derivada de em relação a é .
Substituindo esses valores:

Resposta

A derivada de é .

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