Encontre a derivada das funções abaixo
a)
a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar a sua derivada, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da Regra de Leibniz para derivar integrais com limites variáveis. Essa regra nos diz como derivar uma integral cuja parte superior ou inferior depende da variável
.
A regra é a seguinte:
Ou seja, a derivada da integral é igual à função dentro da integral avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior, menos a função avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.
Passo 3
Aplicando essa regra à nossa função
:
- Função dentro da integral:
- Limite inferior:
- Limite superior:
Como o limite inferior
é constante, sua derivada
. Isso simplifica nossa aplicação da regra de Leibniz, já que a segunda parte da expressão desaparece.
Passo 4
Agora, aplicamos a regra:
Sabemos que
(porque
) e que a derivada de
em relação a
é
.
Substituindo esses valores:
Resposta
A derivada de
é
.