Encontre a derivada das funções abaixo usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Além disso, vamos determinar os domínios da função original e da sua derivada. Para isso, vamos precisar entender o conceito de derivada pela definição e como identificar o domínio de funções envolvendo raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite:
Vamos aplicar essa definição à função dada
.
Passo 3
Substituímos
na fórmula:
Agora, substituímos na definição da derivada:
Passo 4
Para simplificar essa expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é
:
Passo 5
Simplificando o numerador, usamos a identidade
:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Cancelando o
no numerador e denominador:
Agora, ao fazer
tender a 0, a expressão simplifica para:
Resposta
A derivada da função
é:
O domínio da função
é
(ou seja,
).
O domínio da derivada
é
(ou seja,
).