Encontre a derivada das funções abaixo usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Além disso, vamos determinar os domínios da função original e da sua derivada. Para isso, vamos precisar entender o conceito de derivada pela definição e como identificar o domínio de funções envolvendo raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite:
Vamos aplicar essa definição à função dada .

Passo 3

Substituímos na fórmula:
Agora, substituímos na definição da derivada:

Passo 4

Para simplificar essa expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é :

Passo 5

Simplificando o numerador, usamos a identidade :
Então, a expressão fica:

Passo 6

Cancelando o no numerador e denominador:
Agora, ao fazer tender a 0, a expressão simplifica para:

Resposta

A derivada da função é:
O domínio da função é (ou seja, ).
O domínio da derivada é (ou seja, ).

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