Encontre a derivada das funções dadas: (Diva)
22.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função . Isso está relacionado ao estudo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. Vamos precisar conhecer como derivar funções compostas e entender as derivadas das funções trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação:
Aqui, é a cosecante de , que é equivalente a . A função está elevada ao quadrado e multiplicada por -1.

Passo 3

Para encontrar a derivada de , vamos usar a regra da cadeia. Essa regra é útil quando temos uma função dentro de outra função, como dentro do quadrado.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de , onde , é:
Aqui, usamos a derivada de , que é , e multiplicamos pela derivada interna .

Passo 5

Agora, vamos calcular , a derivada de :
Então, substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Simplificando os sinais:
Multiplicamos os coeficientes e removemos os sinais negativos.

Resposta

A derivada da função é:

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