Encontre a derivada das funções dadas: (Diva)
22.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função
. Isso está relacionado ao estudo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. Vamos precisar conhecer como derivar funções compostas e entender as derivadas das funções trigonométricas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação:
Aqui,
é a cosecante de
, que é equivalente a
. A função está elevada ao quadrado e multiplicada por -1.
Passo 3
Para encontrar a derivada de
, vamos usar a regra da cadeia. Essa regra é útil quando temos uma função dentro de outra função, como
dentro do quadrado.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
, onde
, é:
Aqui, usamos a derivada de
, que é
, e multiplicamos pela derivada interna
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
, a derivada de
:
Então, substituindo de volta na expressão:
Passo 6
Simplificando os sinais:
Multiplicamos os coeficientes e removemos os sinais negativos.
Resposta
A derivada da função
é:
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