Encontre a derivada das funções dadas: (Stewart)
17.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente aplicando regras de derivação para funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. Além disso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e funções trigonométricas como o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função composta. Temos uma função exponencial
, onde
. Para derivar
, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
.
Ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Aqui, temos um produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aplicando isso:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente:
- A derivada de
em relação a é 1:
- A derivada de
em relação a é :
Substituindo de volta na expressão da derivada de
:
Passo 5
Agora que temos
, vamos substituir isso na expressão da derivada de
:
Lembrando que
, podemos substituir de volta:
Resposta
A derivada da função
é:
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