Encontre a derivada das funções dadas: (Stewart)
17.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente aplicando regras de derivação para funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. Além disso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e funções trigonométricas como o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função composta. Temos uma função exponencial , onde . Para derivar , usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a .
Ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar um produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aplicando isso:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. A derivada de em relação a é 1:
  1. A derivada de em relação a é :
Substituindo de volta na expressão da derivada de :

Passo 5

Agora que temos , vamos substituir isso na expressão da derivada de :
Lembrando que , podemos substituir de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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