Encontre a derivada das funções dadas: (Stewart)
31.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções compostas, usando principalmente a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e como aplicar a regra da cadeia quando temos funções dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a derivada de uma função composta usa a regra da cadeia, que nos diz para derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna. No nosso caso, pode ser visto como uma função composta onde:
  • A função externa é
  • A função interna é

Passo 3

Vamos começar derivando a função externa . Para isso, usamos a regra do poder:
Agora, lembrando que a derivada de é:
Então, substituindo na expressão de :

Passo 4

Em seguida, precisamos derivar a função interna . A derivada de é bem direta:

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia, combinamos as derivadas da função externa e da interna:
Substituindo as expressões que encontramos:

Resposta

A derivada da função é:

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