Encontre a derivada das funções dadas: (Stewart)
31.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções compostas, usando principalmente a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e como aplicar a regra da cadeia quando temos funções dentro de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a derivada de uma função composta
usa a regra da cadeia, que nos diz para derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna. No nosso caso,
pode ser visto como uma função composta onde:
- A função externa é
- A função interna é
Passo 3
Vamos começar derivando a função externa
. Para isso, usamos a regra do poder:
Agora, lembrando que a derivada de
é:
Então, substituindo na expressão de
:
Passo 4
Em seguida, precisamos derivar a função interna
. A derivada de
é bem direta:
Passo 5
Agora, aplicando a regra da cadeia, combinamos as derivadas da função externa e da interna:
Substituindo as expressões que encontramos:
Resposta
A derivada da função
é:
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