Encontre a derivada das funções a seguir.

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e as derivadas de funções logarítmicas e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função é composta: temos o logaritmo natural ( ) aplicado à função . Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

Aplique a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Então, se , temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Sabemos que a derivada de em relação a é . Aplicando novamente a regra da cadeia:

Passo 5

Substituindo essa derivada na expressão anterior:

Passo 6

Podemos simplificar essa expressão. Sabemos que e , então . Substituindo isso:

Passo 7

Simplificando mais a expressão:
E usando a identidade trigonométrica , temos:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
(Flemming e Gonçalves, pág.127) Dadas as funções e , determinar:
Usando o conceito de diferencial encontrar .
Encontre a derivada das funções a seguir.