Encontre a derivada das funções a seguir.
Passo 1
Vamos resolver a derivada da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e as derivadas de funções logarítmicas e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a função é composta: temos o logaritmo natural (
) aplicado à função
. Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 3
Aplique a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Então, se
, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Aplicando novamente a regra da cadeia:
Passo 5
Substituindo essa derivada na expressão anterior:
Passo 6
Podemos simplificar essa expressão. Sabemos que
e
, então
. Substituindo isso:
Passo 7
Simplificando mais a expressão:
E usando a identidade trigonométrica
, temos:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
(Flemming e Gonçalves, pág.127) Dadas as funções
e
, determinar:
Usando o conceito de diferencial encontrar
.
Encontre a derivada das funções a seguir.