Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa estudar se a função dada é diferenciável no ponto . A função é definida de duas maneiras diferentes dependendo se é menor que 2 ou maior ou igual a 2. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade e derivadas laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Isso é importante porque, para a função ser diferenciável nesse ponto, ela precisa ser contínua lá. Então, vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita, e ver se ambos são iguais ao valor da função em 2.
Para :
Então,
Para :
Então,
Como e , a função é contínua em .

Passo 3

Agora que sabemos que a função é contínua em , vamos verificar as derivadas pelas laterais para ver se elas são iguais. Se forem, a função é diferenciável; se não, não é.
Vamos começar calculando a derivada pela esquerda de 2. Para , a função é , cuja derivada é:
Então, a derivada pela esquerda em é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela direita de 2. Para , a função é , cuja derivada é:
Então, a derivada pela direita em é:

Passo 5

Comparando as derivadas pelas duas laterais:
Como , as derivadas pelas laterais não são iguais.

Resposta

A função não é diferenciável em porque as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.

Exercícios relacionados

(Flemming e Gonçalves, pág.127) Dadas as funções e , determinar:
Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
Encontre a derivada das funções a seguir.
Usando o conceito de diferencial encontrar .