Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa estudar se a função dada é diferenciável no ponto
. A função é definida de duas maneiras diferentes dependendo se
é menor que 2 ou maior ou igual a 2. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade e derivadas laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Isso é importante porque, para a função ser diferenciável nesse ponto, ela precisa ser contínua lá. Então, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita, e ver se ambos são iguais ao valor da função em 2.
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Como
e
, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora que sabemos que a função é contínua em
, vamos verificar as derivadas pelas laterais para ver se elas são iguais. Se forem, a função é diferenciável; se não, não é.
Vamos começar calculando a derivada pela esquerda de 2. Para
, a função é
, cuja derivada é:
Então, a derivada pela esquerda em
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada pela direita de 2. Para
, a função é
, cuja derivada é:
Então, a derivada pela direita em
é:
Passo 5
Comparando as derivadas pelas duas laterais:
Como
, as derivadas pelas laterais não são iguais.
Resposta
A função não é diferenciável em
porque as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes.
Exercícios relacionados
(Flemming e Gonçalves, pág.127) Dadas as funções
e
, determinar:
Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
Encontre a derivada das funções a seguir.
Usando o conceito de diferencial encontrar
.