Encontre a derivada das funçõs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função:
Aqui, vamos usar Derivadas, especificamente as regras do Quociente e Produto, além das derivadas de funções trigonométricas como seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que temos uma função que é o quociente de duas funções:
  • Numerador:
  • Denominador:
Para derivar , vamos usar a Regra do Quociente, que diz:

Passo 3

Vamos calcular , a derivada do numerador. Temos que é o produto de e , então usamos a Regra do Produto:
Calculando as derivadas:
  • (pela Regra da Cadeia)
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular , a derivada do denominador:

Passo 5

Aplicando a Regra do Quociente, substituímos , , e na fórmula:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Distribuindo :
Podemos fatorar no numerador:

Passo 7

Podemos simplificar ainda mais dividindo cada termo por :

Passo 8

Essa é a forma simplificada da derivada. Se quiser, podemos expressar de outra maneira usando identidades trigonométricas, mas essa expressão já responde ao que foi pedido.

Resposta

A derivada da função é:

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