Encontre a derivada das funçõs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e a regra do produto. Vamos precisar conhecer as derivadas das funções seno e cosseno, além de saber aplicar a regra do quociente corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem o nosso quociente. Temos:
  • Numerador: (um produto de duas funções)
  • Denominador:
Para derivar , vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das partes separadamente. Primeiro, precisamos achar , onde . Aqui, usamos a regra do produto: se , então:

Passo 4

Calculando e :
  • (usando a regra da cadeia)
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular , onde :

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:

Passo 8

Podemos fatorar e :

Passo 9

Finalmente, podemos deixar a expressão de forma organizada:

Resposta

A derivada da função é:

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Prove que o ponto da curva mais próximo a é .
Encontre a derivada das funçõs:
Encontre a derivada das funçõs:
Encontre os intervalos nos quais f é:
i) crescente;
ii) decrescente;
iii) côncava para cima;
iv) côncava para baixo,
além disso v) encontre as coordenadas dos pontos de inflexão