Prove que o ponto da curva mais próximo a é .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o ponto na curva que está mais próximo do ponto . A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente conceitos de distância entre pontos e minimização. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um ponto qualquer que está na curva . Essa curva é um círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a distância entre esse ponto e o ponto . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Aplicando isso aos nossos pontos, temos:

Passo 4

Para facilitar a minimização, vamos considerar o quadrado da distância, já que a raiz quadrada é uma função crescente e não altera a localização do mínimo:

Passo 5

Lembrando que está na circunferência , podemos substituir por :
Expandindo o termo :

Passo 6

Agora, queremos minimizar . Essa é uma função linear em . Como o coeficiente de é negativo (-4), a função diminui conforme aumenta. Portanto, o menor valor de ocorre quando é o maior possível na circunferência.
Na circunferência , o maior valor de é 1. Assim, .

Passo 7

Substituindo na equação da circunferência para encontrar :

Resposta

O ponto da curva mais próximo de é .

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