Prove que o ponto da curva
mais próximo a
é
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o ponto na curva
que está mais próximo do ponto
. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente conceitos de distância entre pontos e minimização. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um ponto qualquer
que está na curva
. Essa curva é um círculo de raio 1 centrado na origem.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a distância entre esse ponto
e o ponto
. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Aplicando isso aos nossos pontos, temos:
Passo 4
Para facilitar a minimização, vamos considerar o quadrado da distância, já que a raiz quadrada é uma função crescente e não altera a localização do mínimo:
Passo 5
Lembrando que
está na circunferência
, podemos substituir
por
:
Expandindo o termo
:
Passo 6
Agora, queremos minimizar
. Essa é uma função linear em
. Como o coeficiente de
é negativo (-4), a função diminui conforme
aumenta. Portanto, o menor valor de
ocorre quando
é o maior possível na circunferência.
Na circunferência
, o maior valor de
é 1. Assim,
.
Passo 7
Substituindo
na equação da circunferência para encontrar
:
Resposta
O ponto da curva
mais próximo de
é
.
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