Encontre a derivada de ordem cem da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de ordem cem da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas de alta ordem, especificamente a 100ª derivada. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a função usando frações parciais e depois aplicar as regras de derivação para cada termo separado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Observando o denominador, podemos fatorar:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor
em frações parciais. Queremos encontrar constantes
,
e
tais que:
Para encontrar
,
e
, multiplicamos ambos os lados por
:
Expandindo e simplificando, podemos resolver para
,
e
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Agora que temos a função decomposta, vamos lembrar como derivar termos do tipo
.
A derivada de ordem
de
é dada por:
Isso significa que cada termo da nossa função terá sua própria derivada de ordem cem.
Passo 5
Aplicando a regra acima a cada termo de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A derivada de ordem cem de
é:
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