Encontre a derivada de ordem cem da função
f(x)=(x^2+1)/(x^3-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de ordem cem da função . Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas de alta ordem, especificamente a 100ª derivada. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a função usando frações parciais e depois aplicar as regras de derivação para cada termo separado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Observando o denominador, podemos fatorar:
Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Para encontrar , e , multiplicamos ambos os lados por :
Expandindo e simplificando, podemos resolver para , e :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Então, a decomposição fica:

Passo 4

Agora que temos a função decomposta, vamos lembrar como derivar termos do tipo .
A derivada de ordem de é dada por:
Isso significa que cada termo da nossa função terá sua própria derivada de ordem cem.

Passo 5

Aplicando a regra acima a cada termo de :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

A derivada de ordem cem de é:

Exercícios relacionados

Resolva as integrais:
integral 6 x+7x^2+4 x+4 d x
Resolva as integrais:
integral 6 x^2+6(x-1)(x+2)(x+3) d x
Resolva as equações diferenciais relacionadas abaixo:
x^2 dy/dx - y = 2 x^3 e^(-1/x)
Resolva as equações diferenciais relacionadas abaixo:
(1 + cos(x)) * y' = (1 + e^(-y)) * sen(x) ; y(0) = 0