Resolva as equações diferenciais relacionadas abaixo:
x^2 dy/dx - y = 2 x^3 e^(-1/x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação pertence à matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação para um formato padrão e encontrar um fator integrante que facilite a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar . Dividindo toda a equação por , temos:
Agora, a equação está no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Onde, nesse caso, e .

Passo 3

Vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral:
Ignoramos a constante de integração para o fator integrante, então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Isso porque o lado esquerdo se tornou a derivada do produto .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral da derivada do lado esquerdo é simplesmente , e a do lado direito é , onde é a constante de integração. Assim:

Passo 6

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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