Resolva as equações diferenciais relacionadas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação pertence à matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação para um formato padrão e encontrar um fator integrante que facilite a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
. Dividindo toda a equação por
, temos:
Agora, a equação está no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Onde, nesse caso,
e
.
Passo 3
Vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral:
Ignoramos a constante de integração para o fator integrante, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Isso porque o lado esquerdo se tornou a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral da derivada do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito é
, onde
é a constante de integração. Assim:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre a derivada de ordem cem da função
Resolva as integrais:
Resolva as equações diferenciais relacionadas abaixo:
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