Resolva as equações diferenciais relacionadas abaixo:
(1 + cos(x)) * y' = (1 + e^(-y)) * sen(x) ; y(0) = 0

Passo 1

Entendendo o problema: Temos a equação diferencial com a condição inicial . Vamos resolver essa equação diferencial do primeiro grau. Para isso, precisamos identificar se a equação é separável, ou seja, se conseguimos separar as variáveis x e y de um lado para o outro da equação.

Passo 2

Rearranjando a equação: Primeiro, vamos isolar y':
Isso nos mostra que a derivada de y em relação a x é igual a uma função que envolve tanto x quanto y. Nosso objetivo é separar as variáveis para integrar cada lado em relação a uma única variável.

Passo 3

Separando as variáveis: Para separar, vamos colocar todos os termos que envolvem y de um lado e os que envolvem x do outro:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por e por para obter a forma separável.

Passo 4

Integrando ambos os lados: Agora, integramos ambos os lados da equação:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Resolvendo a integral à esquerda: Vamos integrar .
Fazendo uma substituição simples, deixe , então , ou seja, .
Substituindo:
Resolvendo essa integral por frações parciais:
Então,
Voltando à variável original ( ):

Passo 6

Resolvendo a integral à direita: Agora, vamos integrar .
Vamos usar uma substituição: deixe , então .
Rearranjando, temos .
Substituindo na integral:

Passo 7

Unindo as integrais: Igualamos as duas integrais:
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C.

Passo 8

Aplicando a condição inicial: Sabemos que quando x = 0, .
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 9

Expressando a solução geral: Substituímos C de volta na equação:
Podemos simplificar a constante:

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por:

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