Resolva as equações diferenciais relacionadas abaixo:
Passo 1
Entendendo o problema: Temos a equação diferencial
com a condição inicial
. Vamos resolver essa equação diferencial do primeiro grau. Para isso, precisamos identificar se a equação é separável, ou seja, se conseguimos separar as variáveis
e
de um lado para o outro da equação.
Passo 2
Rearranjando a equação: Primeiro, vamos isolar
:
Isso nos mostra que a derivada de
em relação a
é igual a uma função que envolve tanto
quanto
. Nosso objetivo é separar as variáveis para integrar cada lado em relação a uma única variável.
Passo 3
Separando as variáveis: Para separar, vamos colocar todos os termos que envolvem
de um lado e os que envolvem
do outro:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
e por
para obter a forma separável.
Passo 4
Integrando ambos os lados: Agora, integramos ambos os lados da equação:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
Resolvendo a integral à esquerda: Vamos integrar
.
Fazendo uma substituição simples, deixe
, então
, ou seja,
.
Substituindo:
Resolvendo essa integral por frações parciais:
Então,
Voltando à variável original (
):
Passo 6
Resolvendo a integral à direita: Agora, vamos integrar
.
Vamos usar uma substituição: deixe
, então
.
Rearranjando, temos
.
Substituindo na integral:
Passo 7
Unindo as integrais: Igualamos as duas integrais:
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante
.
Passo 8
Aplicando a condição inicial: Sabemos que quando
,
.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 9
Expressando a solução geral: Substituímos
de volta na equação:
Podemos simplificar a constante:
Resposta
A solução da equação diferencial é dada por:
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Encontre a derivada de ordem cem da função
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Seja
, encontre uma função
tal que
.