Encontre a derivada parcial indicada usndo a regra da cadeia e, fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação. onde determine

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a derivada de em relação a , onde é uma função de e . A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente, a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Vamos precisar substituir as expressões de e em termos de antes de diferenciarmos.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões de e na função . Temos:
Substituindo esses valores em :

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Sabemos que , então:
Portanto, substituindo na expressão de :

Passo 4

Vamos encontrar um denominador comum para somar os termos dentro da raiz:
Simplificando os termos do numerador:

Passo 5

Para facilitar a derivação, vamos expressar de forma mais simples:
Agora, temos em termos de , pronto para aplicar a derivada em relação a .

Passo 6

Vamos aplicar a regra da cadeia para derivar em relação a . A derivada de uma função composta é . Aqui, teremos que derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando a expressão:

Passo 8

Podemos fatorar no numerador:
Isso simplifica para:
Simplificando ainda mais:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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