Encontre a integral indefinida integral(25 x^10+sec ^2 x+3 e^x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a integral indefinida de uma função que é a soma de três termos: 25 x^10, sec^2 x e 3 e^x. Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com a técnica de integrar funções polinomiais, funções trigonométricas e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras básicas de integração para cada um desses tipos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em três integrais menores. Isso facilita bastante a resolução, pois podemos resolver cada parte individualmente. Então, temos:
integral(25 x^10 + sec^2 x + 3 e^x) dx = 25 integral x^10 dx + integral sec^2 x , dx + 3 integral e^x dx

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Integral de x^10:
    A regra para integrar x^n é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então,
    integral x^10 dx = x^1111 + C
  2. Integral de sec^2 x:
    Sabemos que a derivada de tan x é sec^2 x. Portanto,
    integral sec^2 x , dx = tan x + C
  3. Integral de e^x:
    A função exponencial é bem simples de integrar, já que a integral de e^x é ela mesma.
    integral e^x dx = e^x + C

Passo 4

Agora, vamos substituir as integrais que encontramos de volta na expressão original:
25 integral x^10 dx + integral sec^2 x , dx + 3 integral e^x dx = 25 cdot x^1111 + tan x + 3 e^x + C
Simplificando a primeira parte:
25 cdot x^1111 = 2 x^1155

Resposta

Portanto, a integral indefinida é:
integral(25 x^10 + sec^2 x + 3 e^x) dx = 2 x^1155 + tan x + 3 e^x + C
Onde C é a constante de integração.

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