Encontre a derivada de segunda ordem da função.
f(x)=x^2+4 x+3raizx

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada de segunda ordem da função $ f(x) = \frac{x^{2} + 4x + 3}{\sqrt{x}} $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas. Para resolver isso, vamos usar algumas regras de derivação como a regra do quociente e a regra da potência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que $ \sqrt{x} = x^{1/2} $, então podemos reescrever a função assim:
raizx = x^1/2

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada $ f’(x) $. Usamos a regra da potência, que diz que se $ f(x) = x^{n} $, então $ f’(x) = n \cdot x^{n-1} $.
Aplicando isso em cada termo:
f'(x)

Passo 4

Vamos simplificar a primeira derivada:
f'(x) = 32x^12 + 2x^-12 - 32x^-32

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada $ f’’(x) $ derivando novamente cada termo de $ f’(x) $:
  1. Derivando $ \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} $:
f''(x)
  1. Derivando $ 2x^{-\frac{1}{2}} $:
f'(x)
  1. Derivando $ -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}} $:
32x^12

Passo 6

Juntando todos os termos, temos a segunda derivada:
f''(x) = 34x^-12 - x^-32 + 94x^-52

Resposta

A derivada de segunda ordem da função é:
f''(x) = 34x^-12 - x^-32 + 94x^-52

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