Encontre a derivada de segunda ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada de segunda ordem da função $ f(x) = \frac{x^{2} + 4x + 3}{\sqrt{x}} $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas. Para resolver isso, vamos usar algumas regras de derivação como a regra do quociente e a regra da potência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que $ \sqrt{x} = x^{1/2} $, então podemos reescrever a função assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada $ f’(x) $. Usamos a regra da potência, que diz que se $ f(x) = x^{n} $, então $ f’(x) = n \cdot x^{n-1} $.
Aplicando isso em cada termo:
Passo 4
Vamos simplificar a primeira derivada:
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada $ f’’(x) $ derivando novamente cada termo de $ f’(x) $:
- Derivando $ \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} $:
- Derivando $ 2x^{-\frac{1}{2}} $:
- Derivando $ -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}} $:
Passo 6
Juntando todos os termos, temos a segunda derivada:
Resposta
A derivada de segunda ordem da função é: