Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado.
y=sen x, (pi / 3, raiz3 / 2)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva dada pela função $ y = \sin x $ no ponto específico $ \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para determinar o coeficiente angular da reta tangente e, posteriormente, a própria equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ y = \sin x $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto $ x $, ou seja, a inclinação da curva nesse ponto.
A derivada de $ \sin x $ em relação a $ x $ é:
y = sin x

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto $ x = \frac{\pi}{3} $. Isso nos dará o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto.
Substituindo:
x = pi3
Então, o coeficiente angular $ m $ da reta tangente é $ \frac{1}{2} $.

Passo 4

Com o coeficiente angular $ m = \frac{1}{2} $ e o ponto de tangência $ \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $, podemos usar a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação:
m = 12
Substituindo os valores:
(pi3, raiz32)

Passo 5

Vamos simplificar a equação para a forma reduzida:
y = 12x - 12 cdot pi3 + raiz32
y = 12x - pi6 + raiz32

Resposta

A equação da reta tangente à curva $ y = \sin x $ no ponto $ \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ é:
y = sin x

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