Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva dada pela função $ y = \sin x $ no ponto específico $ \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para determinar o coeficiente angular da reta tangente e, posteriormente, a própria equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ y = \sin x $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto $ x $, ou seja, a inclinação da curva nesse ponto.
A derivada de $ \sin x $ em relação a $ x $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto $ x = \frac{\pi}{3} $. Isso nos dará o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto.
Substituindo:
Então, o coeficiente angular $ m $ da reta tangente é $ \frac{1}{2} $.
Passo 4
Com o coeficiente angular $ m = \frac{1}{2} $ e o ponto de tangência $ \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $, podemos usar a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar a equação para a forma reduzida:
Resposta
A equação da reta tangente à curva $ y = \sin x $ no ponto $ \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ é: