Encontre a derivada de segunda ordem da função.
f(x)=e^x+ln x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = e^{x} + \ln x $ e precisamos encontrar a derivada de segunda ordem dessa função. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, onde trabalhamos com derivadas para entender como as funções mudam. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a $ x $. A derivada de primeira ordem nos mostra a inclinação da função, e a derivada de segunda ordem nos dá informações sobre a concavidade da função.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada de primeira ordem da função $ f(x) = e^{x} + \ln x $.
A derivada de $ e^{x} $ em relação a $ x $ é $ e^{x} $.
A derivada de $ \ln x $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{x} $.
Então, a derivada de primeira ordem $ f’(x) $ é:
f(x) = e^x + ln x

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de segunda ordem, ou seja, a derivada da função $ f’(x) = e^{x} + \frac{1}{x} $.
Vamos derivar termo a termo:
A derivada de $ e^{x} $ é novamente $ e^{x} $.
A derivada de $ \frac{1}{x} $ pode ser escrita como $ x^{-1} $. Usando a regra do poder, a derivada de $ x^{-1} $ é $ -x^{-2} $, ou seja, $ -\frac{1}{x^{2}} $.
Então, a derivada de segunda ordem $ f’’(x) $ é:
f'(x) = e^x + 1x

Resposta

A derivada de segunda ordem da função $ f(x) = e^{x} + \ln x $ é:
f(x) = e^x + ln x

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