Em um sistema tridimensional, três forças atuam em um ponto: F1=2 i+3 j-6 k, F2=-i+4 j+k e F3=3 i-2 j+2 k. Calcule: O ângulo entre F1 e FR.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre forças atuando em um ponto em um sistema tridimensional. O conteúdo principal aqui é vetores e como calcular ângulos entre eles usando produto escalar. Para resolver, a gente vai precisar somar os vetores das forças para encontrar a força resultante e depois usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no ponto:
F1 = 2,i + 3,j - 6,k
F2 = -1,i + 4,j + 1,k
F3 = 3,i - 2,j + 2,k

Passo 3

A força resultante ( FR = F1 + F2 + F3 ) é a soma das três forças. Vamos somar componente por componente:
FR = 4,i + 5,j - 3,k
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então,

Passo 4

Agora, para achar o ângulo entre cos(theta) = F1 cdot FR|F1| , |FR| e , vamos usar a fórmula do produto escalar:
Onde:
  • é o produto escalar das duas forças.
  • e são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar F1 cdot FR = (2)(4) + (3)(5) + (-6)(-3) = 8 + 15 + 18 = 41 :

Passo 6

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores |F1| = raiz2^2 + 3^2 + (-6)^2 = raiz4 + 9 + 36 = raiz49 = 7 e |FR| = raiz4^2 + 5^2 + (-3)^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50 = 5raiz2 :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno do ângulo:
cos(theta) = 417 times 5raiz2 = 4135raiz2
Para facilitar, vamos racionalizar o denominador:
cos(theta) = 41raiz235 times 2 = 41raiz270

Passo 8

Por fim, para encontrar o ângulo theta = cos^-1(41raiz270) , usamos a função inversa do cosseno:
theta approx cos^-1(0,826) approx 34,9^circ
Calculando esse valor com uma calculadora:

Resposta

O ângulo entre e é aproximadamente 34,9 graus.

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