Em um sistema tridimensional, três forças atuam em um ponto:
e
. Calcule: O ângulo entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre forças atuando em um ponto em um sistema tridimensional. O conteúdo principal aqui é vetores e como calcular ângulos entre eles usando produto escalar. Para resolver, a gente vai precisar somar os vetores das forças para encontrar a força resultante e depois usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no ponto:
Passo 3
A força resultante (
) é a soma das três forças. Vamos somar componente por componente:
Calculando cada componente:
- Componente
: - Componente
: - Componente
:
Então,
Passo 4
Agora, para achar o ângulo entre
e
, vamos usar a fórmula do produto escalar:
Onde:
-
é o produto escalar das duas forças. -
e são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores
e
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno do ângulo:
Para facilitar, vamos racionalizar o denominador:
Passo 8
Por fim, para encontrar o ângulo
, usamos a função inversa do cosseno:
Calculando esse valor com uma calculadora:
Resposta
O ângulo entre
e
é aproximadamente 34,9 graus.