Encontre a derivada de em relação a utilizando a regra da cadeia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada de em relação a usando a regra da cadeia. O conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. Para isso, vamos precisar saber como lidar com exponenciais e logaritmos, já que eles vão aparecer na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Sabemos que qualquer exponencial com base pode ser escrita usando a função exponencial natural e o logaritmo natural . Então, vamos fazer isso:
Aqui, usamos a identidade porque é a base dos logaritmos naturais e facilita o uso das regras de derivação.

Passo 3

Agora que temos escrito como , podemos aplicar a regra da cadeia para derivar essa função. A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta , sua derivada é .
No nosso caso, . Vamos encontrar a derivada de :
Porque é uma constante e a derivada de em relação a é 1.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos:
Substituindo de volta a expressão original na equação, ficamos com:

Resposta

A derivada de em relação a é .

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