Encontre a derivada de
em relação a
utilizando a regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada de
em relação a
usando a regra da cadeia. O conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. Para isso, vamos precisar saber como lidar com exponenciais e logaritmos, já que eles vão aparecer na resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a derivação. Sabemos que qualquer exponencial com base
pode ser escrita usando a função exponencial natural
e o logaritmo natural
. Então, vamos fazer isso:
Aqui, usamos a identidade
porque
é a base dos logaritmos naturais e facilita o uso das regras de derivação.
Passo 3
Agora que temos
escrito como
, podemos aplicar a regra da cadeia para derivar essa função. A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta
, sua derivada é
.
No nosso caso,
. Vamos encontrar a derivada de
:
Porque
é uma constante e a derivada de
em relação a
é 1.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Substituindo de volta a expressão original
na equação, ficamos com:
Resposta
A derivada de
em relação a
é
.
Exercícios relacionados
Se
, para que valores de
temos que
Seja
. Encontre as direções u e os valores de
para os quais
Simplifique:
Encontre uma expressão equivalente para
em termos de seno e cosseno.