Se f(x) = x^3 - 2 x^2 - x, para que valores de x temos que f'(x) = f''(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa descobrir para quais valores de x a primeira derivada é igual à segunda derivada . Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e igualar as duas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada da função f(x). A derivada indica a taxa de variação da função em relação a x. Usando as regras básicas de derivação:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada . Isso nos mostra a taxa de variação da taxa de variação da função.
Calculando cada termo:

Passo 4

O próximo passo é igualar a primeira derivada à segunda derivada e resolver a equação resultante:
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 5

Vamos resolver a equação acima para encontrar os valores de x. Primeiro, colocamos tudo no lado esquerdo para formar uma equação quadrática:
Simplificando:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática :
Aqui, , e .
Calculando o discriminante ( Delta):
Como , temos duas soluções reais:
Então:

Resposta

Os valores de x para os quais são e .

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