Seja . Encontre as direções u e os valores de para os quais

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as direções u e os valores de para os quais . Vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica no ponto dado. Para isso, precisamos calcular o gradiente da função e trabalhar com vetores unitários nas direções desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função:
Calculando as derivadas parciais:
No ponto :

Passo 3

A derivada direcional na direção de um vetor unitário é dada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor :
Queremos que essa derivada direcional seja igual a -3:

Passo 4

Além disso, como é um vetor unitário, ele deve satisfazer:
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 5

Primeiro, isolamos uma das variáveis na primeira equação. Vamos isolar :
Agora, substituímos essa expressão na segunda equação:
Explicando, estamos substituindo por uma expressão em termos de para resolver a equação quadrática resultante.

Passo 6

Vamos expandir e simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar o denominador:

Passo 7

Fatorando a equação:
Isso nos dá duas soluções para :
Agora, vamos encontrar os correspondentes para cada caso.

Passo 8

Caso 1:
Substituindo na expressão de :
Caso 2:
Substituindo na expressão de :

Passo 9

Agora, temos duas soluções para o vetor :
Vamos verificar se são vetores unitários:
Para :
Para :

Resposta

As direções que satisfazem são:

Exercícios relacionados

Seja . Encontre as direções u e os valores de para os quais
Calcule as derivadas indicadas em cada caso:
se
Se , para que valores de temos que
Encontre a derivada de em relação a utilizando a regra da cadeia.