Seja
. Encontre as direções u e os valores de
para os quais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as direções u e os valores de
para os quais
. Vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função
muda em uma direção específica no ponto dado. Para isso, precisamos calcular o gradiente da função e trabalhar com vetores unitários nas direções desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função:
Calculando as derivadas parciais:
No ponto
:
Passo 3
A derivada direcional
na direção de um vetor unitário
é dada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor
:
Queremos que essa derivada direcional seja igual a -3:
Passo 4
Além disso, como
é um vetor unitário, ele deve satisfazer:
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 5
Primeiro, isolamos uma das variáveis na primeira equação. Vamos isolar
:
Agora, substituímos essa expressão na segunda equação:
Explicando, estamos substituindo
por uma expressão em termos de
para resolver a equação quadrática resultante.
Passo 6
Vamos expandir e simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar o denominador:
Passo 7
Fatorando a equação:
Isso nos dá duas soluções para
:
Agora, vamos encontrar os correspondentes
para cada caso.
Passo 8
Caso 1:
Substituindo na expressão de
:
Caso 2:
Substituindo na expressão de
:
Passo 9
Agora, temos duas soluções para o vetor
:
Vamos verificar se são vetores unitários:
Para
:
Para
:
Resposta
As direções
que satisfazem
são:
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Seja
. Encontre as direções u e os valores de
para os quais
Calcule as derivadas indicadas em cada caso:
se
Se
, para que valores de
temos que
Encontre a derivada de
em relação a
utilizando a regra da cadeia.