Sendo , calcule as derivadas parciais de segunda ordem de .

Passo 1

Beleza, então o enunciado é: temos a função e precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem dela. A matéria aqui é cálculo de derivadas parciais, especialmente de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar com respeito a e , e depois derivar novamente para obter as segundas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial da função em relação a , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante. A função tem duas partes: e . A derivada de em relação a é simplesmente , já que é constante. A derivada de em relação a é 0, porque não tem lá. Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar , a segunda derivada parcial em relação a . Diferenciando em relação a , temos:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a primeira derivada parcial da função em relação a , ou seja, . Derivando em relação a , tratamos como constante. A derivada de em relação a é e a derivada de é 5. Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar , a segunda derivada parcial em relação a . Derivando em relação a , temos:

Passo 6

Por fim, vamos calcular as derivadas cruzadas e . Vamos começar com , que é a derivada de em relação a . Como , derivando em relação a temos:
De forma semelhante, é a derivada de em relação a . Como , derivando em relação a temos:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem de são:

Exercícios relacionados

Encontre as derivadas parciais de .
A função está definida por encontre:
.
Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de .
Encontre as derivadas parciais de .