Sendo
, calcule as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado é: temos a função
e precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem dela. A matéria aqui é cálculo de derivadas parciais, especialmente de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar com respeito a
e
, e depois derivar novamente para obter as segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial da função em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante. A função
tem duas partes:
e
. A derivada de
em relação a
é simplesmente
, já que
é constante. A derivada de
em relação a
é 0, porque não tem
lá. Então:
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para encontrar
, a segunda derivada parcial em relação a
. Diferenciando
em relação a
, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a primeira derivada parcial da função em relação a
, ou seja,
. Derivando
em relação a
, tratamos
como constante. A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é 5. Então:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
, a segunda derivada parcial em relação a
. Derivando
em relação a
, temos:
Passo 6
Por fim, vamos calcular as derivadas cruzadas
e
. Vamos começar com
, que é a derivada de
em relação a
. Como
, derivando em relação a
temos:
De forma semelhante,
é a derivada de
em relação a
. Como
, derivando em relação a
temos:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem de
são:
Exercícios relacionados
Encontre as derivadas parciais de
.
A função
está definida por
encontre:
.
Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Encontre as derivadas parciais de
.