Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função
. Isso envolve calcular as derivadas em relação a
e
separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. É basicamente a taxa de variação de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo a outra constante. No nosso caso, vamos derivar
em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a
, que chamaremos de
. Para isso, vamos tratar
como uma constante e derivar a função comum.
A função é:
Usando a regra do quociente para derivar uma fração, onde se
e
, então:
Calculando as derivadas de
e
em relação a
:
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, que chamaremos de
. Dessa vez, tratamos
como constante.
Usando novamente a regra do quociente:
Calculando as derivadas de
e
em relação a
:
Substituindo na fórmula:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e