Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
q)
q)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que são as derivadas de funções de múltiplas variáveis em relação a uma variável, mantendo as outras constantes. Também vamos precisar da regra do produto, já que temos o produto de duas funções aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usamos a regra do produto: se temos
, então
.
Aqui,
e
.
Calculando
em relação a
:
(since
é constante quando derivamos em relação a
).
Calculando
em relação a
:
(aqui usamos a regra da cadeia, derivando
e multiplicando pela derivada interna
).
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usamos a regra do produto onde
e
.
Calculando
em relação a
:
(since
é constante quando derivamos em relação a
).
Calculando
em relação a
:
(aqui usamos a regra da cadeia, derivando
e multiplicando pela derivada interna
).
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
Exercícios relacionados
Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
d)
d)
Nos itens abaixo, mostre que o campo vetorial
é um campo gradiente.
b)
b)
Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
d)
d)
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
t)
t)