Nos itens abaixo, mostre que o campo vetorial
é um campo gradiente.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial
. O objetivo é mostrar que esse campo é um campo gradiente. Ou seja, queremos provar que existe uma função escalar
tal que
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre campos conservativos e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser um campo gradiente. Um campo
é gradiente se pode ser escrito como
, onde
representa o gradiente de alguma função escalar
. Isso implica que as componentes de
são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Então, vamos tentar encontrar essa função
tal que:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver essas equações uma a uma para encontrar
.
- Integrando
em relação a :
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
.
- Agora, usando
:
Integrando isso em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
- Por fim, usando
:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Juntando tudo, a função
fica:
Resposta
Portanto, encontramos uma função escalar
tal que
. Assim, o campo vetorial
é de fato um campo gradiente.
Exercícios relacionados
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
n)
n)
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
j)
j)
Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
d)
d)
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
q)
q)