Nos itens abaixo, mostre que o campo vetorial é um campo gradiente.
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial . O objetivo é mostrar que esse campo é um campo gradiente. Ou seja, queremos provar que existe uma função escalar tal que . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser um campo gradiente. Um campo é gradiente se pode ser escrito como , onde representa o gradiente de alguma função escalar . Isso implica que as componentes de são as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Então, vamos tentar encontrar essa função tal que:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver essas equações uma a uma para encontrar .
  1. Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e .
  1. Agora, usando :
Integrando isso em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .
  1. Por fim, usando :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Juntando tudo, a função fica:

Resposta

Portanto, encontramos uma função escalar tal que . Assim, o campo vetorial é de fato um campo gradiente.

Exercícios relacionados

Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
n)
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
j)
Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
d)
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
q)