Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais da função . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente com derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e aplicar as regras de derivação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função logarítmica natural em relação a é . Quando temos uma função composta, como , precisamos usar a regra da cadeia, que nos diz para multiplicar a derivada externa pela derivada interna.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a . Aqui, tratamos como uma constante.
A derivada de em relação a fica:
Como e (porque é constante em relação a ), temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a . Aqui, tratamos como uma constante.
A derivada de em relação a fica:
Como e , temos:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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h)
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
n)
Nos itens abaixo, mostre que o campo vetorial é um campo gradiente.
b)