Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais da função
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, mais especificamente com derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e aplicar as regras de derivação para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função logarítmica natural
em relação a
é
. Quando temos uma função composta, como
, precisamos usar a regra da cadeia, que nos diz para multiplicar a derivada externa pela derivada interna.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a
. Aqui, tratamos
como uma constante.
A derivada de
em relação a
fica:
Como
e
(porque
é constante em relação a
), temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
. Aqui, tratamos
como uma constante.
A derivada de
em relação a
fica:
Como
e
, temos:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
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i)
i)
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h)
h)
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n)
n)
Nos itens abaixo, mostre que o campo vetorial
é um campo gradiente.
b)
b)