Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
n)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções trigonométricas e aplicar as regras de derivação em funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante.
A função é:
Usamos a regra da cadeia para derivar a função composta. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
Aqui, , então:
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante.
Usamos novamente a regra da cadeia para derivar a função composta .
Aqui, , então:
Aplicando a regra da cadeia:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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j)
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
i)
Nos itens abaixo, mostre que o campo vetorial é um campo gradiente.
b)
Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
d)