Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções que dependem de mais de uma variável e usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Aqui, temos um produto de duas funções de
:
e
. Vamos usar a Regra do Produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Vamos identificar
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
. Para isso, usamos a Regra da Cadeia. A derivada de
é
.
Aqui,
, então:
Passo 5
Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
A função continua sendo
. Dessa vez,
é tratado como uma constante em relação a
, e só precisamos derivar
em relação a
.
Passo 7
Usando a Regra da Cadeia novamente:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e