Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
s) f(x, y) = 6 x^2 ln(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções que dependem de mais de uma variável e usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , ou seja, .
A função é . Aqui, temos um produto de duas funções de : e . Vamos usar a Regra do Produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos identificar e .
Primeiro, derivamos em relação a :

Passo 4

Agora, derivamos em relação a . Para isso, usamos a Regra da Cadeia. A derivada de é .
Aqui, , então:

Passo 5

Aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , ou seja, .
A função continua sendo . Dessa vez, é tratado como uma constante em relação a , e só precisamos derivar em relação a .

Passo 7

Usando a Regra da Cadeia novamente:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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