Encontre as derivadas parciais indicadas: ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma função definida como uma integral:
E a gente precisa encontrar a derivada parcial dessa função em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções definidas por integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis (nesse caso, ) nos mostra como a função muda quando apenas varia, mantendo constante.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1, que nos diz como derivar uma função definida por uma integral com limites variáveis. Se , então a derivada de em relação a é:

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, onde:
Aqui, e . Como é considerado constante quando derivamos em relação a , .

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula:
Simplificando isso:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

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Seja Mostre que
Seja Determine e .
Seja Mostre que e são contínuas em .
É possível existir uma função cujas derivadas parciais são e , e cujas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas?