Encontre as derivadas parciais indicadas:
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma função
definida como uma integral:
E a gente precisa encontrar a derivada parcial dessa função em relação a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções definidas por integrais com limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis (nesse caso,
) nos mostra como a função muda quando apenas
varia, mantendo
constante.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1, que nos diz como derivar uma função definida por uma integral com limites variáveis. Se
, então a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso, onde:
Aqui,
e
. Como
é considerado constante quando derivamos em relação a
,
.
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula:
Simplificando isso:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Seja
Mostre que
Seja
Determine
e
.
Seja
Mostre que
e
são contínuas em
.
É possível existir uma função
cujas derivadas parciais são
e
, e cujas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas?