Encontre as derivadas parciais indicadas: f(x, y)=integralx^y cos (e^t^2) d t, fx= ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma função f(x, y) = integralx^y cos(e^t^2) dt definida como uma integral:
E a gente precisa encontrar a derivada parcial dessa função em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções definidas por integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis (nesse caso, ) nos mostra como a função muda quando apenas varia, mantendo constante.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1, que nos diz como derivar uma função definida por uma integral com limites variáveis. Se F'(x) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x) , então a derivada de em relação a é:

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, onde:
f(x, y) = integralx^y cos(e^t^2) dt
Aqui, e . Como é considerado constante quando derivamos em relação a , .

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula:
fx = cos(e^y^2) cdot 0 - cos(e^x^2) cdot 1
Simplificando isso:
fx = -cos(e^x^2)

Resposta

A derivada parcial de fx = -cos(e^x^2) em relação a é:

Exercícios relacionados