Seja Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos mostrar que a derivada parcial de em relação a , ou seja, , também é definida por partes conforme dado. Vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e trabalhar com as regras de diferenciação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . Para , a função é dada por:
E para , a função vale 0. Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a para o caso onde . Usaremos a regra do quociente, que diz:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Subtraindo esses termos:
Então, a derivada parcial fica:

Passo 6

Agora, precisamos verificar o ponto . Como a função é definida como 0 nesse ponto, a derivada parcial também será 0 aqui, pois não há variação em quando estamos exatamente no ponto .

Resposta

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Seja Determine e .
Seja sen . Calcule .
Encontre as derivadas parciais indicadas: ?
Seja Mostre que e são contínuas em .