Seja f(x, y)= x^3 y-x y^3x^2+y^2 & ,(x, y) neq(0,0) 0 & ,(x, y)=(0,0) Mostre que partial fpartial x= x^4 y+4 x^2 y^3-y^5(x^2+y^2)^2 & ,(x, y) neq(0,0) 0 & ,(x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos mostrar que a derivada parcial de em relação a , ou seja, , também é definida por partes conforme dado. Vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e trabalhar com as regras de diferenciação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função f(x, y) = x^3 y - x y^3x^2 + y^2 . Para , a função é dada por:
E para , a função vale 0. Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partialpartial x(uv) = v partial upartial x - u partial vpartial xv^2 em relação a para o caso onde . Usaremos a regra do quociente, que diz:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:
partial upartial x = 3x^2 y - y^3
partial vpartial x = 2x
Agora, aplicando a regra do quociente:
partial fpartial x = (x^2 + y^2)(3x^2 y - y^3) - (x^3 y - x y^3)(2x)(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
(x^2 + y^2)(3x^2 y - y^3) = 3x^4 y + 3x^2 y^3 - x^2 y^3 - y^5 = 3x^4 y + 2x^2 y^3 - y^5
(x^3 y - x y^3)(2x) = 2x^4 y - 2x^2 y^3
Subtraindo esses termos:
3x^4 y + 2x^2 y^3 - y^5 - (2x^4 y - 2x^2 y^3) = x^4 y + 4x^2 y^3 - y^5
Então, a derivada parcial fica:
partial fpartial x = x^4 y + 4x^2 y^3 - y^5(x^2 + y^2)^2

Passo 6

Agora, precisamos verificar o ponto . Como a função é definida como 0 nesse ponto, a derivada parcial também será 0 aqui, pois não há variação em quando estamos exatamente no ponto .

Resposta

partial fpartial x = dfracx^4 y +4 x^2 y^3 - y^5(x^2+y^2)^2 & ,(x, y) neq(0,0) 0 & ,(x, y)=(0,0)

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