Seja
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida por partes e precisamos mostrar que a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
, também é definida por partes conforme dado. Vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e trabalhar com as regras de diferenciação para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função
. Para
, a função é dada por:
E para
, a função vale 0. Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
para o caso onde
. Usaremos a regra do quociente, que diz:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Subtraindo esses termos:
Então, a derivada parcial fica:
Passo 6
Agora, precisamos verificar o ponto
. Como a função
é definida como 0 nesse ponto, a derivada parcial
também será 0 aqui, pois não há variação em
quando estamos exatamente no ponto
.