Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos mostrar que a derivada parcial de em relação a , ou seja, , também é definida por partes conforme dado. Vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e trabalhar com as regras de diferenciação para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função . Para , a função é dada por:
E para , a função vale 0. Nosso objetivo é encontrar .
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a para o caso onde . Usaremos a regra do quociente, que diz:
Aqui, e .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Subtraindo esses termos:
Então, a derivada parcial fica:
Passo 6
Agora, precisamos verificar o ponto . Como a função é definida como 0 nesse ponto, a derivada parcial também será 0 aqui, pois não há variação em quando estamos exatamente no ponto .