Seja Mostre que e são contínuas em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as derivadas parciais de em relação a e são contínuas no ponto . Isso envolve entender derivadas parciais e continuidade de funções de duas variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais e verificar se elas não “saltam” ou “explodem” quando nos aproximamos de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . Para isso, usamos a definição de derivada parcial:
Sabemos que . Então:
Portanto:
Então, a derivada parcial em no ponto é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . Usamos uma definição similar:
Sabemos que . Então:
Portanto:
Então, a derivada parcial em no ponto também é 0.

Passo 4

Agora que sabemos que as derivadas parciais em e no ponto são ambas 0, precisamos mostrar que elas são contínuas nesse ponto. Para isso, vamos verificar se o limite das derivadas parciais quando se aproxima de é igual ao valor da derivada no ponto.
Vamos calcular e para :
Para :
Para :
Agora, vamos verificar os limites dessas derivadas quando :
Para :
Para :
Como os limites são 0, que é igual ao valor das derivadas no ponto , concluímos que ambas as derivadas parciais são contínuas nesse ponto.

Resposta

As derivadas parciais e são contínuas em .

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