Seja f(x, y)= x^2 y^2x^2+y^2 & ,(x, y) neq(0,0) 0 & ,(x, y)=(0,0) Mostre que partial fpartial x e partial fpartial y são contínuas em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as derivadas parciais de em relação a e são contínuas no ponto . Isso envolve entender derivadas parciais e continuidade de funções de duas variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais e verificar se elas não “saltam” ou “explodem” quando nos aproximamos de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h em relação a f(h,0) = h^2 cdot 0^2h^2 + 0^2 = 0 no ponto partial fpartial x(0,0) = limh to 0 0 - 0h = 0 . Para isso, usamos a definição de derivada parcial:
Sabemos que . Então:
Portanto:
Então, a derivada parcial em no ponto é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k em relação a f(0,k) = 0^2 cdot k^20^2 + k^2 = 0 no ponto partial fpartial y(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0 . Usamos uma definição similar:
Sabemos que . Então:
Portanto:
Então, a derivada parcial em no ponto também é 0.

Passo 4

Agora que sabemos que as derivadas parciais em partial fpartial x = 2xy^2(x^2 + y^2) - x^2 y^2 cdot 2x(x^2 + y^2)^2 = 2xy^2(x^2 + y^2) - 2x^3 y^2(x^2 + y^2)^2 = 2xy^2 y^2(x^2 + y^2)^2 = 2x y^4(x^2 + y^2)^2 e partial fpartial y = 2x^2 y(x^2 + y^2) - x^2 y^2 cdot 2y(x^2 + y^2)^2 = 2x^2 y(x^2 + y^2) - 2x^2 y^3(x^2 + y^2)^2 = 2x^2 y x^2(x^2 + y^2)^2 = 2x^4 y(x^2 + y^2)^2 no ponto | 2x y^4(x^2 + y^2)^2 | <= 2|x| y^4(x^2 + y^2)^2 <= 2|x| y^4y^4 = 2|x| to 0 quando (x,y) to (0,0) são ambas 0, precisamos mostrar que elas são contínuas nesse ponto. Para isso, vamos verificar se o limite das derivadas parciais quando | 2x^4 y(x^2 + y^2)^2 | <= 2x^4 |y|(x^2 + y^2)^2 <= 2x^4 |y|x^4 = 2|y| to 0 quando (x,y) to (0,0) se aproxima de é igual ao valor da derivada no ponto.
Vamos calcular e para :
Para :
Para :
Agora, vamos verificar os limites dessas derivadas quando :
Para :
Para :
Como os limites são 0, que é igual ao valor das derivadas no ponto , concluímos que ambas as derivadas parciais são contínuas nesse ponto.

Resposta

As derivadas parciais e são contínuas em .

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