Seja f(x, y)= x^2 y^2x^2+y^2 & ,(x, y) neq(0,0) 0 & ,(x, y)=(0,0) Determine partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma função definida de forma diferente dependendo se é igual a ou não. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como aplicá-las em funções com definições diferentes em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função para f(x, y) = x^2 y^2x^2 + y^2 :
Para calcular a derivada parcial em relação a , vamos tratar como uma constante e aplicar a regra do quociente.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente para partial fpartial x = (2x y^2)(x^2 + y^2) - x^2 y^2 (2x)(x^2 + y^2)^2 :
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Simplificando o numerador:
2x y^2 (x^2 + y^2) - 2x^3 y^2 = 2x^3 y^2 + 2x y^4 - 2x^3 y^2 = 2x y^4
Então, a derivada parcial fica:
partial fpartial x = 2x y^4(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a f(x, y) = x^2 y^2x^2 + y^2 :
Novamente, usamos a regra do quociente, tratando como constante.

Passo 6

Aplicando a regra do quociente para partial fpartial y = (2y x^2)(x^2 + y^2) - x^2 y^2 (2y)(x^2 + y^2)^2 :
Vamos simplificar o numerador.

Passo 7

Simplificando o numerador:
2y x^2 (x^2 + y^2) - 2x^2 y^3 = 2x^4 y + 2x^2 y^3 - 2x^2 y^3 = 2x^4 y
Portanto, a derivada parcial fica:
partial fpartial y = 2x^4 y(x^2 + y^2)^2

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = 2x y^4(x^2 + y^2)^2 e partial fpartial y = 2x^4 y(x^2 + y^2)^2 são:

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