É possível existir uma função
cujas derivadas parciais são
e
, e cujas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente quer saber se existe uma função
cujas derivadas parciais são dadas por:
Além disso, a gente precisa garantir que as derivadas parciais de segunda ordem dessa função sejam contínuas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da regra das derivadas mistas, que nos ajuda a verificar se essas derivadas têm alguma relação especial.
Passo 2
Para que exista uma função
com as derivadas parciais fornecidas e derivadas de segunda ordem contínuas, as derivadas mistas devem ser iguais. Ou seja:
Isso é conhecido como o teorema de Clairaut, e é fundamental para garantir a existência de tais funções com derivadas contínuas.
Passo 3
Vamos calcular
primeiro, ou seja, a derivada parcial de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Agora, vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos comparar os dois:
A diferença está nos coeficientes de
. Para que
, precisamos que:
Isso só é possível se
, o que claramente não é verdadeiro.
Passo 5
Como as derivadas mistas não são iguais (
), isso viola o teorema de Clairaut. Portanto, não existe uma função
que satisfaça as condições dadas com derivadas parciais contínuas de segunda ordem.
Resposta
Não, não é possível existir tal função
com as derivadas parciais e condições dadas.