É possível existir uma função cujas derivadas parciais são e , e cujas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente quer saber se existe uma função cujas derivadas parciais são dadas por:
Além disso, a gente precisa garantir que as derivadas parciais de segunda ordem dessa função sejam contínuas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da regra das derivadas mistas, que nos ajuda a verificar se essas derivadas têm alguma relação especial.

Passo 2

Para que exista uma função com as derivadas parciais fornecidas e derivadas de segunda ordem contínuas, as derivadas mistas devem ser iguais. Ou seja:
Isso é conhecido como o teorema de Clairaut, e é fundamental para garantir a existência de tais funções com derivadas contínuas.

Passo 3

Vamos calcular primeiro, ou seja, a derivada parcial de em relação a :
Derivando em relação a :
Agora, vamos calcular , que é a derivada parcial de em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora que temos e , vamos comparar os dois:
A diferença está nos coeficientes de . Para que , precisamos que:
Isso só é possível se , o que claramente não é verdadeiro.

Passo 5

Como as derivadas mistas não são iguais ( ), isso viola o teorema de Clairaut. Portanto, não existe uma função que satisfaça as condições dadas com derivadas parciais contínuas de segunda ordem.

Resposta

Não, não é possível existir tal função com as derivadas parciais e condições dadas.

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