Encontre as derivadas parciais indicadas: f(x, y) = (x^3 - y) / raiz(1 + x*y), f_y = ?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos utilizar as regras de derivação para funções de várias variáveis, como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
Assim, vemos que a função é o produto de e .

Passo 3

Agora, aplicamos a regra do produto para derivar em relação a :
Ou seja, a derivada parcial de é a soma de duas partes.

Passo 4

Vamos derivar cada parte separadamente:
  1. A derivada de em relação a é , pois a derivada de em relação a é zero e a derivada de é .
  2. Para a derivada de , usamos a regra da cadeia:
Aqui, derivamos o expoente em relação a multiplicando pela derivada interna.

Passo 5

Substituindo as derivadas encontradas na equação do Passo 3:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Resposta

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