Seja f(x, y)=e^sen x+x^5 y+ln (1+y^2). Calcule partial^2 fpartial y partial x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada segunda mista de , ou seja, . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais, polinomiais e logarítmicas em relação a uma variável, aplicando regras como a da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de ddx e^sen x = e^sen x cdot cos x em relação a ddx (x^5 y) = 5x^4 y , que é ddx ln(1 + y^2) = 0 .
  1. Derivada de em relação a partial fpartial x = e^sen x cos x + 5x^4 y :
    Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de em relação a é , onde .
  2. Derivada de em relação a :
    Como é considerado uma constante em relação a , a derivada é simplesmente:
  3. Derivada de em relação a :
    Aqui, não depende de , então sua derivada em relação a é zero.
Somando tudo, temos:

Passo 3

Agora, vamos derivar partialpartial y (e^sen x cos x) = 0 em relação a partialpartial y (5x^4 y) = 5x^4 para encontrar partial^2 fpartial y partial x = 0 + 5x^4 = 5x^4 .
  1. Derivada de em relação a :
    Como essa expressão não depende de , a derivada é zero.
  2. Derivada de em relação a :
    Aqui, é uma constante em relação a , então:
Somando as derivadas, temos:

Resposta

A derivada segunda mista é igual a .

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