Seja
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada segunda mista de , ou seja,
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais, polinomiais e logarítmicas em relação a uma variável, aplicando regras como a da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
, que é
.
-
Derivada de em relação a
:
Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada deem relação a é , onde . -
Derivada de
em relação a :
Comoé considerado uma constante em relação a , a derivada é simplesmente: -
Derivada de
em relação a :
Aqui,não depende de , então sua derivada em relação a é zero.
Somando tudo, temos:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
-
Derivada de em relação a
:
Como essa expressão não depende de, a derivada é zero. -
Derivada de
em relação a :
Aqui,é uma constante em relação a , então:
Somando as derivadas, temos:
Resposta
A derivada segunda mista
é igual a
.